比例拡張ソートで配列を並び替える
比例拡張ソートを使用する
比例拡張ソート (proportion extend sort, PESort) は、クイックソートの分割を土台にしつつ、整列済み接頭辞の中央値をピボットに使い、未整列部分の長さを比例定数 p で抑えることで、クイックソートの最悪 O(n²) を避けようとする比較ソートである。
クイックソートは分割が 1 回の走査で済み、現代 CPU のメモリ階層と相性がよい。一方、ピボット選びが偏ると片側だけ巨大な部分問題が残り、最悪時間計算量が O(n²) になりうる。
比例拡張ソートは整列済み接頭辞 S と 未整列部分 U に区間を分けて考え、|U| が p·|S| を超える間は S と U の先頭 p·|S| 要素をまとめて整列して S を伸ばす。十分短い U だけが残ったら S の中央値をピボットに分割し、左右へ再帰する。サンプルソートに近い「小さな整列済み標本からピボットを得る」発想である。
- 接頭辞の初期化: 先頭 1 要素(または少数要素)を整列済み接頭辞
Sとみなす。 - 比例拡張:
|U| > p·|S|のあいだ、SとUの先頭p·|S|要素をまとめて整列し、結果を新しいSとする。 - 中央値ピボット:
Sの中央値をピボットとして部分配列を分割する(実装では Lomuto 型などクイックソートと同様の分割が用いられる)。 - 再帰: ピボットより小さい側・大きい側に同じ手順を適用する。十分短い区間は挿入ソートで仕上げる。
procedure proportion_extend_sort(A, lo, hi, p)
if hi - lo <= INSERTION_THRESHOLD then
insertion_sort(A, lo, hi)
return
s_end = lo
while s_end < hi and (hi - s_end) > p * (s_end - lo + 1)
chunk_end = min(s_end + p * (s_end - lo + 1), hi)
proportion_extend_sort(A, lo, chunk_end, p)
s_end = chunk_end
median = lo + floor((s_end - lo) / 2)
pivot = partition(A, lo, hi, median)
proportion_extend_sort(A, lo, pivot - 1, p)
proportion_extend_sort(A, pivot + 1, hi, p)
パラメータ p は「未整列部分 ÷ 整列済み接頭辞」の上限である(文献によって定義が異なるので実装時は論文・ソースの取り方に注意する)。p ≈ 16 付近で平均性能がよく、p を小さくすると最悪ケースが改善しやすい。p が無限大に近いとクイックソート、未整列部分が 1 要素に近いと二分探索挿入ソートに近い振る舞いになる。
最悪・平均とも O(n log n) 比較、補助領域は再帰スタックで O(log n) とされ、安定ソートではない。
以下のデモでは小配列でも拡張フェーズが見えるように p = 2、小区間閾値 4、分割は Lomuto 型で実行する。青枠は整列済み接頭辞、紫は中央値ピボット、オレンジは比較、緑は交換を表す。
クイックソートやイントロソートと並べて読むと、「分割の速さ」と「最悪ケースの抑え方」のトレードオフが対比しやすい。
計算時間量および空間計算量を計測する
| Size | Average time | Maximum time | Average memory | Maximum memory |
|---|---|---|---|---|
| 256 | 0.000006 | 0.000390 | 1661 | 1668 |
| 512 | 0.000019 | 0.000474 | 1666 | 1672 |
| 1024 | 0.000045 | 0.000513 | 1673 | 1680 |
| 2048 | 0.000102 | 0.000424 | 1690 | 1696 |
| 4096 | 0.000218 | 0.000450 | 1722 | 1728 |
| 8192 | 0.000609 | 0.001594 | 1786 | 1792 |
| 16384 | 0.001453 | 0.002719 | 1918 | 1924 |
| 32768 | 0.003233 | 0.005752 | 2178 | 2184 |
| 65536 | 0.006769 | 0.013338 | 2690 | 2696 |
| 131072 | 0.019993 | 0.134023 | 3713 | 3720 |
| 262144 | 0.046617 | 0.065233 | 5762 | 5768 |
計測に使用したコードを表示する
set -euo pipefail
WORKDIR="$(mktemp -d)"
trap 'rm -rf "$WORKDIR"' EXIT
cat > "$WORKDIR/Dockerfile" <<'EOF'
FROM rust:1.95.0
WORKDIR /app
RUN mkdir -p src
RUN cat > Cargo.toml <<'CARGO'
[package]
name = "rust-benchmark"
version = "0.1.0"
edition = "2021"
[profile.release]
lto = true
codegen-units = 1
panic = "abort"
CARGO
RUN cat > src/main.rs <<'RUST'
use std::{
env,
process::Command,
time::{Duration, Instant},
};
const MIN_POWER: u32 = 8;
const MAX_POWER: u32 = 18;
const RUNS: usize = 8192;
fn insertion_sort(a: &mut [usize]) {
for i in 1..a.len() {
let mut j = i;
while j > 0 && a[j - 1] > a[j] {
a.swap(j - 1, j);
j -= 1;
}
}
}
fn partition_at(a: &mut [usize], lo: usize, hi: usize, pivot_idx: usize) -> usize {
a.swap(pivot_idx, hi);
let pivot = a[hi];
let mut i = lo;
for j in lo..hi {
if a[j] < pivot {
a.swap(i, j);
i += 1;
}
}
a.swap(i, hi);
i
}
fn pe_sort_range(a: &mut [usize], lo: usize, hi: usize) {
const P: usize = 16;
if hi <= lo {
return;
}
if hi - lo < 16 {
insertion_sort(&mut a[lo..=hi]);
return;
}
let mut s_end = lo;
while s_end < hi && hi - s_end > P * (s_end - lo + 1) {
let chunk_end = (s_end + P * (s_end - lo + 1)).min(hi);
pe_sort_range(a, lo, chunk_end);
s_end = chunk_end;
}
let median = lo + (s_end - lo) / 2;
let pivot = partition_at(a, lo, hi, median);
if pivot > 0 {
pe_sort_range(a, lo, pivot - 1);
}
pe_sort_range(a, pivot + 1, hi);
}
fn proportion_extend_sort(a: &mut [usize]) {
if let Some(hi) = a.len().checked_sub(1) {
pe_sort_range(a, 0, hi);
}
}
fn benchmark_sort(array: &mut [usize]) {
proportion_extend_sort(array);
}
fn shuffled(size: usize, seed: u64) -> Vec<usize> {
let mut v: Vec<usize> = (1..=size).collect();
let mut state = seed;
for i in (1..size).rev() {
state ^= state << 13;
state ^= state >> 7;
state ^= state << 17;
let j = (state as usize) % (i + 1);
v.swap(i, j);
}
v
}
fn memory_usage_kb() -> usize {
let contents = std::fs::read_to_string("/proc/self/status")
.unwrap_or_default();
for line in contents.lines() {
if let Some(rest) = line.strip_prefix("VmHWM:") {
let kb = rest
.split_whitespace()
.next()
.unwrap_or("0")
.parse::<usize>()
.unwrap_or(0);
return kb;
}
}
0
}
fn micros(d: Duration) -> u128 {
d.as_micros()
}
fn run_once(size: usize, seed: usize) -> (u128, usize) {
let expected: Vec<usize> = (1..=size).collect();
let mut array = shuffled(size, seed as u64);
let start = Instant::now();
benchmark_sort(&mut array);
let elapsed = start.elapsed();
if array != expected {
panic!(
"sort failed with seed {} for size {}",
seed,
size
);
}
(micros(elapsed), memory_usage_kb())
}
fn run_child(args: &[String]) {
let size = args[2].parse::<usize>().expect("invalid size");
let seed = args[3].parse::<usize>().expect("invalid seed");
let (elapsed_us, mem) = run_once(size, seed);
println!("{} {}", elapsed_us, mem);
}
fn main() {
let args: Vec<String> = env::args().collect();
if args.get(1).is_some_and(|arg| arg == "--run-once") {
run_child(&args);
return;
}
println!(
"| {:>10} | {:>15} | {:>15} | {:>15} | {:>15} |",
"Size",
"Average time",
"Maximum time",
"Average memory",
"Maximum memory"
);
println!(
"|{:-<11}:|{:-<16}:|{:-<16}:|{:-<16}:|{:-<16}:|",
"",
"",
"",
"",
""
);
for power in MIN_POWER..=MAX_POWER {
let size = 1usize << power;
let mut total_time: u128 = 0;
let mut max_time: u128 = 0;
let mut total_mem: usize = 0;
let mut max_mem: usize = 0;
for seed in 1..=RUNS {
let output = Command::new(env::current_exe().expect("failed to find current executable"))
.arg("--run-once")
.arg(size.to_string())
.arg(seed.to_string())
.output()
.expect("failed to run benchmark child process");
if !output.status.success() {
panic!(
"benchmark child process failed: {}",
String::from_utf8_lossy(&output.stderr)
);
}
let stdout = String::from_utf8(output.stdout)
.expect("child process returned non-UTF-8 output");
let mut fields = stdout.split_whitespace();
let elapsed_us = fields
.next()
.expect("missing elapsed time")
.parse::<u128>()
.expect("invalid elapsed time");
let mem = fields
.next()
.expect("missing memory usage")
.parse::<usize>()
.expect("invalid memory usage");
total_time += elapsed_us;
if elapsed_us > max_time {
max_time = elapsed_us;
}
total_mem += mem;
if mem > max_mem {
max_mem = mem;
}
}
let avg_time = total_time / RUNS as u128;
let avg_mem = total_mem / RUNS;
println!(
"| {:>10} | {:>15} | {:>15} | {:>15} | {:>15} |",
size,
format!("{}.{:06}", avg_time / 1_000_000, avg_time % 1_000_000),
format!("{}.{:06}", max_time / 1_000_000, max_time % 1_000_000),
avg_mem,
max_mem
);
}
}
RUST
RUN cargo build --release
CMD ["./target/release/rust-benchmark"]
EOF
docker build -t rust-benchmark "$WORKDIR"
docker run --rm --init rust-benchmark